Các bài toán thiên niên kỷ – Wikipedia tiếng Việt

Bởi

Các bài toán thiên niên kỷ là bảy bài toán chưa có lời giải trong toán học được đưa ra bởi Viện Toán học Clay vào ngày 24 tháng 5 năm 2000. Các bài toán cụ thể là giả thuyết Birch và Swinnerton-Dyer, giả thuyết Hodge, bài toán Navier-Stokes, bài toán P so với NP, giả thuyết Poincaré, giả thuyết Riemann và bài toán Yang-Mills. Viện sẽ trao giải một triệu đô cho những ai đưa ra lời giải chính xác cho một trong bảy bài toán.

Cho đến ngày này thì chỉ có giả thuyết Poincaré là đã được giải, giải thuật được đưa ra bởi nhà toán học người Nga Grigori Perelman vào năm 2003 và ông phủ nhận phần thưởng .

Những bài toán đã được giải[sửa|sửa mã nguồn]

Giả thuyết Poincaré[sửa|sửa mã nguồn]

Trong khoảng trống 2 chiều, mặt cầu là mặt phẳng đóng và đơn liên duy nhất. Giả thuyết Poincaré nói rằng điều này cũng đúng trong khoảng trống 3 chiều. Đây là bài toán trọng điểm để xử lý yếu tố tổng quát hơn trong việc phân loại mọi đa tạp 3 chiều. Giả thuyết được phát biểu ngặt nghèo hơn như sau :

Mọi đa tạp 3 chiều đóng đơn liên thì đồng phôi với mặt cầu 3 chiều.

Chứng minh cho giả thuyết này được đưa ra bởi Grigori Perelman. Lời giải của ông dựa trên triết lý dòng Ricci của Richard Hamilton. Tuy nhiên, giải thuật này hầu hết nhờ vào sự nâng cấp cải tiến độc lạ của Perelman, đồng thời tận dụng nhiều hiệu quả về khoảng trống metric của Cheeger, Gromov và của chính ông. Ngoài ra, Perelman còn chứng tỏ luôn cả giả thuyết hình học hoá của William Thurston ( một trường hợp đặc biệt quan trọng của giả thuyết Poincaré ), đây là mảnh ghép vô cùng quan trọng để chứng tỏ giả thuyết Poincaré. Lời giải được công nhận vào tháng 8 năm 2006 và Perelman chính thức được trao giải bài toán thiên niên kỷ vào ngày 18 tháng 3 năm 2010. Nhưng ông đã khước từ nhận thưởng và mọi số tiền tương quan đến phần thưởng đó, điều mà ông cũng đã từng làm với giải Fields. Theo The Interfax đưa tin, Perelman cho rằng phần thưởng không hề công minh, vì những góp phần của ông cũng chẳng hơn gì so với góp phần của Hamilton .

Những bài toán chưa có lời giải[sửa|sửa mã nguồn]

Giả thuyết Birch và Swinnerton[sửa|sửa mã nguồn]

Giả thuyết Birch và Swinnerton-Dyer chăm sóc đến 1 số ít loại phương trình, đơn cử là những phương trình định nghĩa lên đường cong elliptic trên trường số hữu tỉ. Giả thuyết nói rằng có một cách đơn thuần để xác lập xem phương trình đó có hữu hạn hay vô hạn nghiệm hữu tỉ. Bài toán thứ mười của Hilbert chăm sóc đến những loại phương trình tổng quát hơn, và trong trường hợp tổng quát đó thì người ta đã chứng tỏ được rằng không có bất kể cách nào để xác lập xem với phương trình được cho thì nó có nghiệm hay không .Andrew Wiles là người đã đưa ra mệnh đề chính thức cho bài toán .

Giả thuyết Hodge[sửa|sửa mã nguồn]

∂ u ∂ t ⏟ Gia tốc tức thời + ( u ⋅ ∇ ) u ⏟ Gia tốc đối lưu ⏞ Quán tính − ν ∇ 2 u ⏟ Độ nhớt = − ∇ w ⏟ Nội lực + g ⏟ Ngoại lực. { \ displaystyle \ overbrace { \ underbrace { \ frac { \ partial \ mathbf { u } } { \ partial t } } _ { \ begin { smallmatrix } { \ text { Gia tốc } } \ \ { \ text { tức thời } } \ end { smallmatrix } } + \ underbrace { ( \ mathbf { u } \ cdot \ nabla ) \ mathbf { u } } _ { \ begin { smallmatrix } { \ text { Gia tốc } } \ \ { \ text { đối lưu } } \ end { smallmatrix } } } ^ { \ text { Quán tính } } – \ underbrace { \ nu \, \ nabla ^ { 2 } \ mathbf { u } } _ { \ text { Độ nhớt } } = \ underbrace { – \ nabla w } _ { \ begin { smallmatrix } { \ text { Nội lực } } \ end { smallmatrix } } + \ underbrace { \ mathbf { g } } _ { \ begin { smallmatrix } { \ text { Ngoại lực } } \ end { smallmatrix } }. }{\displaystyle \overbrace {\underbrace {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Gia tốc}}\\{\text{tức thời}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Gia tốc}}\\{\text{đối lưu}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Quán tính}}-\underbrace {\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} } _{\text{Độ nhớt}}=\underbrace {-\nabla w} _{\begin{smallmatrix}{\text{Nội lực}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\mathbf {g} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Ngoại lực}}\end{smallmatrix}}.}

Phương trình Navier-Stokes là phương trình giúp ta miêu tả hoạt động của chất lưu, là một trong những công cụ trụ cột trong cơ học chất lưu, có ảnh hưởng tác động rất lớn đến với khoa học kỹ thuật trong thực tiễn. Tuy nhiên về mặt triết lý thì những hiểu biết của ta so với nghiệm của phương trình này là chưa triển khai xong. Cụ thể, đặt phương trình trong khoảng trống 3 chiều và cho hệ một số ít điều kiện kèm theo khởi đầu, những nhà toán học đến nay vẫn chưa chứng tỏ được liệu hệ có luôn sống sót nghiệm trơn hay không .Phát biểu chính thức cho bài toán được đặt ra bởi Charles Fefferman .

P. so với NP[sửa|sửa mã nguồn]

Câu hỏi được đặt ra rằng liệu đúng hay không, với mọi bài toán kèm theo thuật toán có thể kiểm tra tính đúng đắn của nghiệm bài toán đó một cách nhanh chóng (tức trong thời gian đa thức) thì cũng sẽ tồn tại một thuật toán có thể tìm ra nghiệm của bài toán một cách nhanh chóng. Lớp các bài toán ở vế đầu và vế sau được đặt lần lượt là NP và P, nên ta có thể phát biểu bài toán một cách ngắn gọn hơn đó là liệu có phải mọi bài toán thuộc lớp NP cũng đều thuộc lớp P không. Đây được coi là một trong những câu hỏi mở quan trọng nhất trong toán học và khoa học máy tính vì nó ảnh hưởng trực tiếp đến nhiều vấn đề trong các lĩnh vực khác như sinh học, triết học và mật mã. Bài toán SAT là một ví dụ điển hình cho bài toán thuộc lớp NP nhưng vẫn chưa biết liệu nó có thuộc lớp P hay không.

Hầu hết những nhà toán học và nhà khoa học máy tính tin rằng P ≠ NP. Tuy nhiên điều này vẫn chưa được chứng tỏ .Stephen Cook là người đã đưa ra mệnh đề chính thức cho bài toán này .

Giả thuyết Riemann[sửa|sửa mã nguồn]

s) = 1/2. Nghiệm không tầm thường đầu tiên s) = ±14.135, ±21.022 và ±25.011.Phần thực ( màu đỏ ) và phần ảo ( màu xanh ) của hàm zeta Riemann kèm với đường tới hạn Re ( ) = 50%. Nghiệm không tầm thường tiên phong zeros hoàn toàn có thể thấy tại điểm Im ( ) = ± 14.135, ± 21.022 và ± 25.011 .Hàm zeta Riemann ζ ( s ) được xác lập bởi

ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ n − s = 1 1 s + 1 2 s + 1 3 s + ⋯ { \ displaystyle \ zeta ( s ) = \ sum _ { n = 1 } ^ { \ infty } n ^ { – s } = { \ frac { 1 } { 1 ^ { s } } } + { \ frac { 1 } { 2 ^ { s } } } + { \ frac { 1 } { 3 ^ { s } } } + \ cdots }{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }

là hàm biến phức một biến. Thác triển giải tích của nó có nghiệm tại những số nguyên âm chẵn, nói cách khác thì ζ ( s ) = 0 khi s bằng – 2, – 4, – 6, …. Những nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường. Tuy nhiên đấy không phải là hàng loạt nghiệm của hàm zeta, những nghiệm khác được gọi là nghiệm không tầm thường. Giả thuyết Riemann chăm sóc đến vị trí của những nghiệm không tầm thường này, đơn cử giả thuyết nói rằng :

Mọi nghiệm không tầm thường của hàm zeta Riemann đều có phần thực là 1/2.

Bất kì chứng tỏ nào về tính đúng sai của giả thuyết cũng đều sẽ tác động ảnh hưởng thâm thúy đến kim chỉ nan số, đặc biệt quan trọng là về sự phân phối của số nguyên tố. Đây là bài toán thứ tám của Hilbert, và đến nay nó vẫn được coi là bài toán mở quan trọng nhất của thế kỷ .Enrico Bombieri là người đã đưa ra mệnh đề chính thức cho bài toán này .

Các bài viết liên quan

Viết một bình luận