Chuyên đề diện tích tam giác – Thư viện Stem – Steam

Giới thiệu Chuyên đề diện tích tam giác

Thư viện Stem – Steam gửi đến quý thầy cô Tài liệu dạy học Toán 8 không tính tiền đã được biên soạn một cách cụ thể và khá đầy đủ, thầy cô tải về để sử dụng nhé .

Tài liệu môn Toán sẽ luôn được cập thường xuyên từ nguồn đóng góp của quý thầy, cô giáo gửi về địa chỉ [email protected]

Ngoài ra, Thư viện stem – steam còn cung cấp file WORD Tài liệu môn Toán miễn phí nhằm hỗ trợ thầy, cô trong quá trình dạy học, biên soạn đề thi.

Tài liệu Chuyên đề diện tích tam giác

Tips : thầy cô hoàn toàn có thể tìm thêm tài liệu với google tại đây .
Text Chuyên đề diện tích tam giác
DIỆN TÍCH TAM GIÁC I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT * Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao tương ứng * Lưu ý : S  1 a. h. 2 – Nếu hai tam giác có một cạnh bằng nhau thì tỉ số diện tích hai tam giác đó bằng tỉ số những chiều cao tương ứng. – Nếu hai tam giác có một đường cao bằng nhau thì tỉ số diện tích hai tam giác đó bằng tỉ số những cạnh tương ứng. II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA Dạng 1. Tính toán, chứng tỏ về diện tích tam giác Phương pháp giải : Sử dụng công thức tính diện tích tam giác. 1. Cho tam giác ABC và đường trung tuyến AM. Chứng minh SAMB = SAMC. 2. Cho tam giác ABC, những đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại trọng tâm G. Chứng minh : a ) SAGP = SPGB = SBGM = SMGC = SCGN = SNGA ; b ) Các tam giác GAB, GBC và GCA có diện tích bằng nhau. 3. a ) Tính diện tích của một tam giác cân có cạnh bên là a và cạnh đáy là b. b ) Tính diện tích của tam giác đều có cạnh là a. 4. Cho tam giác ABC có đáy BC = 60 cm, chiều cao tương ứng 40 cm. Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Tính diện tích tứ giác BDEC. Dạng 2. Tính độ dài đoạn thẳng bằng cách sử dụng công thức tính diện tích tam giác Phương pháp giải : Từ công thức S  1 2S 2S và h  a. h, suy ra a . 2 h a 5. Cho tam giác ABC cân tại A có cạnh đáy BC = 60 cm, đường cao AH = 40 cm. Tính đường cao tương ứng với cạnh bên. 1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com 6. Một tam giác cân có đường cao ứng vói cạnh đáy bằng 15 cm, đường cao ứng với cạnh bên bằng 20 cm. Tính những cạnh của tam giác đó ( đúng chuẩn đến 0,1 cm ). Dạng 3. Sử dụng công thức tính diện tích để chứng tỏ những hệ thức Phương pháp giải : Phát hiện quan hệ về diện tích trong hình rồi sử dụng những công thức tính diện tích. 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh : AH.BC = AB.AC. 8. Cho tam giác nhọn ABC, những đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh HD HE HF    1. AD BE CF Dạng 4. Tìm vị trí của một điểm để thỏa mãn nhu cầu một đẳng thức về diện tích Phương pháp giải : Dùng công thức tính diện tích dẫn đến điều kiện kèm theo về vị trí điểm, thường tương quan đến khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. 9. Cho tam giác ABC. Hãy chỉ ra vị trí của điểm M trong tam giác đó sao cho SMAB + SMAC = SMBC. 10. Tam giác ABC có BC = 6 cm. Lấy điểm M trên cạnh AC sao cho AM = 1 AC. Xác định vị trí 3 điểm N trên BC sao cho MN chia tam giác ABC thành hai phần thỏa mãn nhu cầu tứ giác AMNB có diện tích gấp 3 lần diện tích MNC. Dạng 5. Tìm diện tích lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hình Phương pháp giải : Để tìm diện tích lớn nhất hoặc nhỏ nhất cùa một hình, ta hoàn toàn có thể sử dụng mối quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên. Lưu ý : – Nếu diện tích của một hình luôn nhỏ hơn hoặc bằng một hằng số M và sống sót một vị trí của hình để diện tích bằng M thì M là diện tích lớn nhất của hình. – Nếu diện tích của một hình luôn lớn hơn hoặc bằng một hằng số m và sống sót một vị trí của hình để diện tích bằng m thì m là diện tích nhỏ nhất của hình. 11. Tìm diện tích lớn nhất của tam giác ABC có AB = 3 cm, BC = ịcm. 12. Tính diện tích lớn nhất của tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC = a. 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com HƯỚNG DẪN 1. Kẻ đường cao AH Ta có : SAMB = SAMC = 1 BM.AH 2 1 CM.AH 2 Mà BM = CM ( gt )  SAMB = SAMC ( ĐPCM ) 2. a ) Tam giác AGP và PGB có chung đường cao hạ từ đỉnh G và AP = PB nên SAGP = SPGB Tương tự, ta có : SBGM = SMGC và SCGN = SNGA. Vì G là trọng tâm  ABC  AG = 2GM.  SBGM = 1 SABG  SBGM = SAGP = SPGB. 2 Chứng minh tựa như, ta suy ra được : SAGP = SPGB = SBGM = SMGC = SCGN = SNGA b ) Sử dụng hiệu quả câu a ) ta có diện tích mỗi tam giác bằng 1 SABC, 6 từ đó suy ra ĐPCM. 3. a ) Kẻ đường cao AH.  BH = HC = b. 2 Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông AHB, tính được AH  4 a 2  b 2 2 1 Vậy S ABC  b. 4 a 2  b 2 4 b ) Ta có : BK = KC = a 2 3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com Tính được AK  Vậy S ABC  a 3 2 3 2 a 4 4. 1 S ABC . 60.40  1200 cm 2 2 Chứng minh : S ACD  S BCD  Vậy S BDEC  S BCD  S DEC  1 S ABC 2 3 3 S ABC . 1200  900 cm 2 4 4 5. Bảo hành  HC  1 BC  30 cm 2 Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông AHC, tính được AC = 50 cm. Ta có : S ABC  1 1 BC. AH  AC.BK 2 2  AC.BK = 2400  BK = 48 cm 6. S ABC  1 1 AH. BC  BK. AC 2 2  15 BC  20 AC  BC   BH = HC = 4 AC 3 2 AC 3 Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ACH, ta có : AC2 = AH2 + CH2 = 152 + 4 AC2 9 Tính được AC = AB = 20,1 cm và BC = 26,8 cm. 7. S ABC  1 1 AH. BC  AB. AC 2 2  AH.BC = AB.AC ( ĐPCM ) 4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com 8. S BHC  1 HD.BC 2 và S ABC   1 AD.BC 2 S BHC HD  S ABC AD ( 1 ) Chứng minh tựa như, ta có : S AHC HE S HF và AHB   S ABC BE S ABC CF Từ ( 1 ) và ( 2 ), suy ra được ( 2 ) HD HE HF    1 ( ĐPCM ) AD BE CF 9. Vẽ AH  BC, MK  BC S MBC  S MAB  S MAC   MK  1 S ABC 2 1 AH 2 Vì M không nằm ngoài tam giác nên M nằm trên đoạn thẳng EF / / BC và cách BC một khoảng chừng 1 AH. 2 10. Vẽ MH  BC, BK  AC. SAMNB = 3SMNC  SABC = 4SMNC Ta có : S ABC AC 3   S BMC MC 2 S BMC BC S 6 9    ABC  S MNC NC NC S MNC NC Mà SABC = 4SCMN  NC = 2,25 11. Ta có : S ABC  1 AH. BC 2 Mà AH  AB  S ABC  1 AB.BC  6. 2 5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com Vậy diện tích lớn nhất của  ABC là 6 cm2. Dấu “ = ” xảy ra  AH  BC   ABC vuông tại B. 12. Đặt BC = a, AC = b, AB = c Ta có : a 2  b 2  c 2 và bc  b2  c2 2 1 1 b2  c2 a2  S ABC  bc .  2 2 2 4 Vậy diện tích lớn nhất của tam giác ABC là a2 4 Dấu “ = ” xảy ra  b = c   ABC vuông cân tại A. B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN Bài 1 : Một hình chữ nhật có những size 6 m và 2 m. Một hình tam giác có những cạnh bằng 5 m, 5 m, 6 m. Chứng minh rằng hai hình đó có chu vi bằng nhau và diện tích bằng nhau. Bài 2 : Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc, AC  16 cm, BD  10 cm. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tính diện tích tứ giác EFGH. Bài 3 : Cho hình chữ nhật ABCD có AB  12 cm, AD  6, 8 cm. Gọi H, I, E, K là những trung điểm tương ứng của BC, HC, DC, EC. a ) Tính diện tích tam giác DBE. b ) Tính diện tích tứ giác EHIK. Bài 4 : Cho hình chữ nhật ABCD có CD = 4 cm, BC = 3 cm. Gọi H là hình chiếu của C trên BD. Tính diện tích tam giác ADH. Bài 5 : Hai hình vuông vắn có hiệu hai cạnh bằng 3 m và hiệu diện tích bằng 69 m 2. Tính cạnh của mỗi hình vuông vắn. Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông ở A, đường phân giác BD. Biết AD  3 cm, DC  5 cm. Tính diện tích tam giác ABC. Bài 7 : Trong hình chữ nhật có chu vi 100 m, hình nào có diện tích lớn nhất ? Tính diện tích đó. 6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com Bài 8 : Tính diện tích một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 26 m, hiệu hai cạnh góc vuông bằng 14 m. Bài 9 : Cho tam giác ABC cân tại A, BC  15 cm, đường cao AH  10 cm. Tính đường cao ứng với cạnh bên. Bài 10 : Tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD, AB  10 cm, AC  15 cm. Tính diện tích hình vuông vắn có đường chéo là AD. Bài 11 : Cho tam giác ABC vuông tại A, AB  a, AC  b, đường cao AH. Ở phía ngoài tam giác vẽ những hình vuông vắn ABDE, ACFG, BCIK. a ) Tính diện tích tam giác DBC. b ) Chứng minh rằng AK  DC. c ) Đường thẳng AH cắt KI ở M. Tính diện tích những tứ giác BHMK, CHMI, BCIK. Bài 12 : Tam giác ABC có AB  10 cm, AC  17 cm, BC  21 cm. a ) Gọi AH là đường vuông góc kẻ từ A đến DC. Tính HC 2  HB 2 và HC  HB. b ) Tính diện tích tam giác ABC. Bài 13 : Cho điểm M nằm trong  ABC. Các tia AM, BM, CM lần lượt cắt cạnh đối lập tại D, E, F. Chứng minh MD ME MF    1 AD BE CF HƯỚNG DẪN Bài 1 : Chu vi hình chữ nhật và chu vi hình tam giác cùng bằng 16 m. Diện tích hình chữ nhật và diện tích hình tam giác cùng bằng 12 m 2 Bài 2 : EFGH là hình chữ nhật, có EF  8 cm, EH  5 cm. Diện tích hình chữ nhật EFGH bằng 40 cm. 2 Bài 3 : a ) ABCD là hình chữ nhật nên SBCD  1. SABCD = 1. AB.AD = 1. 12.6, 8  40, 8 cm 2. 2 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com 2 2 E là trung điểm của CD, suy ra : 1 S BDE  SBCE . S BCD  20, 4 cm 2. 2 b ) H là trung điểm BC  SCHE  1. S BCE  1. 20, 4  10, 2 cm 2. 2 2 1 K là trung điểm CE  SHKC . SCHE  5,1 cm 2. 2 1 I là trung điểm CH  SCKI . S HKC  2, 55 cm 2. 2 Vậy SEHIK  SCHE  SCIK  10,2  2, 55  7, 65 cm 2. Bài 4 : Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông BCD, ta có BD2  BC 2  CD2  32  42  25  52 nên BC  5 cm CH  2S BCD BD  BC  CD 3.4   2, 4 cm BD 5 Xét tam giác vuông CDH, ta có DH 2  CD2  CH 2  42  2, 42  10, 24  3.22 nên DH  3, 2 cm. Kẻ AK  BD. Ta có S S ADH  ABD  SCBD nên AK  CH  2, 4 cm. Vậy 1 1 DH  AK   3,2. 2, 4  3, 86 ( cm2 ). 2 2 Bài 5 : Gọi a và b là cạnh của hình vuông vắn. Ta có a  b  3 và a 2  b 2  69, do đó a 2  b2 6 a  b    23 a  b 9 Biết tổng a  b  23, a  b  3 ta tính được a  13 ; b  10. 8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com  1  B  2 ) nên Bài 6 : Kẻ DH  BC. Ta có  HBD   ABD ( cạnh huyền BD chung, góc nhọn B DH  AD  3 cm và BH  AB. Áp dụng định lý Py-ta-go vào  DHC vuông, ta có HC 2  DC 2  DH 2  52  32  42, nên HC  4 cm. Đặt AB  BH  x. Áp dụng định lý Py – ta-go vào  ABC vuông, ta có BC 2  AB 2  AC 2 nên ( x  4 ) 2  x 2  82  x  6. Diện tích  ABC bằng 1 1 AB.AC  6.8  24 cm2. 2 2 Bài 7 : Gọi một kích cỡ của hình chữ nhật là x ( m ), kích cỡ kia là 50  x ( m ) Diện tích hình chữ nhật bằng : S  x ( 50  x )   x 2  50 x   ( x  25 ) 2  625  625. Giá trị lớn nhất của S bằng 625 tại x  25. Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật bằng 625 mét vuông, khi đó hình chữ nhật là hình vuông vắn có cạnh 25 m. Bài 8 : Gọi a, b là cách cạnh góc vuông. Ta có a  b  14 và a 2  b 2  262  676  1  Từ a  b  14 suy ra ( a  b ) 2  142, tức là a 2  b 2  2 ab  196  2  Từ  1  và  2  suy ra 2 ab  676  196  480. Diện tích tam giác vuông bằng ab 480   120 m 2. 2 4 A Bài 9 : Tam giác ABC cân tại A. Đường cao AH nên K BH  HC  BC : 2  15 : 2  7,5  cm  Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông AHC ta có AC 2  AH 2  HC 2  102  7,52  156.25  12, 52 ; suy ra AC  12,5 cm. 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com B H C S ABC  1 1 BC. AH . 15.10  75 cm 2. 2 2   Kẻ BK  AC, ta có BK  2S ABC : AC  2.75 : 12,5  12  cm . Bài 10 : Kẻ DH  AB, DK  AC. Điểm D thuộc tia phân giác của góc A nên DH  DK. Đặt DH  DK  x, ta có A S ABC  S ADB  S ADC 1 1 1 1  AB.x  AC.x . 10. x . 15. x  12,5 x.  1  2 2 2 2 Mặt khác S ABC 1 1  AB. AC . 10.15  75. 2 2  2  1 H K 2 B C D Từ  1  và  2  suy ra 12, 5 x  75. Do đó x  75 : 12,5  6.  G  S AHDK  62  36 cm 2. E F Bài 11 : a ) S DBC A 1 a2  S ADBE  2 2 b D a B C H b )  ABK   DBC  c. g. c   AK  DC. C ) S BHMK  2 S ABK  2 S DBC  a 2 K M I Chứng minh tương tự như, SCHMI  S ACFG  b 2. Vậy S BICK  a 2  b 2 Lưu ý. Bài toán trên cho ta một cách chứng minh định lý Py-ta-go : Nếu  ABC vuông tại A thì BC 2  AB 2  AC 2 10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com Bài 12 : A a ) Đặt HC  x, HB  y. Ta có :    x 2  y 2  AC 2  AH 2  AB 2  AH 2   AC 2  AB 2  17 2  10 2  189 Do đó : x  y  17 10 B y x  y 189   9. x  y 21 2 2 b ) Biết tổng  x  y  và hiệu  x  y  ta tính được y  6 cm, từ đó AH  8 cm. Đáp số : S ABC  84 cm 2. Bài 13 : Ta có : Và S BMD MD (  BMD và  BAD có chung đường cao kẻ từ B )  S BAD AD SCMD MD (  CMD và  CAD có chung đường cao kẻ từ C )  SCAD AD Suy ra : MD S BMD SCMD S BMD  SCMD S MBC     AD S BAD SCAD S BAD  SCAD S ABC Chứng minh tương tự như : Suy ra : S MAC ME S MAB MF  ;  S BAC BE SCAB CF S  S MAC  S MAB S MD ME MF    MBC  ABC  1 ( đpcm ) AD BE CF S ABC S ABC = = = = = = = = = = TOÁN HỌC SƠ ĐỒ = = = = = = = = = = 11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com x H 21 C

Source: https://sangtaotrongtamtay.vn
Category: Giáo dục