MI1111 – Giải tích 1 Nhóm 1 – Đề cương Lý thuyết + Bài tập (06 – MI1111 GIẢI TÍCH I Tên học phần: – StuDocu

MI1111 GIẢI TÍCH I

1. Tên học phần: Giải tích I – Analysis I
2. Mã học phầnKhối lượng: : MI1111 4 (3-2-0-8)

• Lý thuyết: 45 tiết
• Bài tập: 30 tiết
• Thí nghiệm:

4. Đối tượng tham dự: Sinh viên đại học nhóm ngành 1, từ học kỳ 1
5. Điều kiện học phần:

• Học phần tiên quyết
• Học phần học trước
• Học phần song hành

6. Mục tiêu học phần và kết quả mong đợi: Cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ
   bản về hàm số một biến số và nhiều biến số, làm cơ sở để có thể học tiếp các học phần sau về toán cũng như các môn kỹ thuật khác.
   Mức độ đóng góp cho các tiêu chí đầu ra của chương trình đào tạo:
   Tiêu chí 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4.
   Mức độ GT GT SD GT GT SD SD SD

7 à nhiều biến số. Tích phân của hàm số một biến số. Nội dung vắn tắt học phần : Giới hạn, liên tục, đạo hàm, vi phân của hàm số một biến số 8. Tài liệu học tập : – Sách, giáo trình chính [ 1 ]. ThảoNguyễn Đình Trí ( chủ biên ), Trần Việt Dũng, Trần Xuân Hiển, Nguyễn Xuân, Toán học cao cấp tập 2 : Giải tích, NXB Giáo dục đào tạo, Thành Phố Hà Nội, năm ngoái, 42 4 trang. [ 2 ]. Nguyễn Đình Trí ( chủ biên ), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Bài tập toán học cao cấp tập 2 : Phép tính giải tích một biến số, NXB Giáo dục đào tạo, Thành Phố Hà Nội, 2000, 256 [ 3 ]. Nguyễn Đình Trí ( chủ biên ), Tạ Văn Đình, Nguyễn Hồ Quỳnh, trang. Bài tập toán học cao cấp tập 3 : Phép tính giải tích nhiều biến số, NXB Giáo dục đào tạo, TP. Hà Nội, 1999, 499 trang. – Sách tìm hiểu thêm : [ 1 ]. Trần Bình : Giải tích I, Khoa học và kỹ thuật, Thành Phố Hà Nội, 1998, 359 trang. Phép tính vi phân và tích phân của hàm một biến, NXB [ 2 ]. Trần Bình : Giải tích II và III, Phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến, NXB Khoa học và kỹ thuật, TP.HN, 2005, 575 trang. [ 3 ]. Trần Bình, Hướng dẫn giải bài tập giải tích toán học, tập 1, NXB Đại học quốc [ 4 ]. Trần Bình, gia TP.HN, 2001, 394 trang. Bài tập giải sẵn giải tích II, NXB Khoa học và kỹ thuật, Thành Phố Hà Nội, 2001, 400 trang. 9. Phương pháp học tập và trách nhiệm của sinh viên Đặc thù của học phần : Phương pháp học tậpDự lớp : vừa đủ theo qui chế Bài tập : hoàn thành xong những bài tập của học phầnDự kiểm tra giữa kỳ : Tự luận, 60 phút, sau khi học tám tuần, Viện tổ chức triển khai, nội dung từ hàm một biến số đến hết tích phân bất định của những hàm phân thức hữu tỉ. 10. Đánh giá hiệu quả : QT ( 0 ) – T ( 0 )

• Điểm quá trình trọng số 0.

  Bạn đang đọc: MI1111 - Giải tích 1 Nhóm 1 - Đề cương Lý thuyết + Bài tập (06 - MI1111 GIẢI TÍCH I Tên học phần: - StuDocu">MI1111 – Giải tích 1 Nhóm 1 – Đề cương Lý thuyết + Bài tập (06 – MI1111 GIẢI TÍCH I Tên học phần: – StuDocu

• Điểm thi cuối kỳ ( trắc nghiệm hoặc tự luận ) trọng số 0 .
• Hàm số y = f ( x )
• Đường cong cho dạng tham số
• Đường cong cho trong toạ độ cực

7Chương 2. Phép tính tích phân hàm một biến số ( 15 LT + 9BT ) 2 Tích phân bất định – Một số khái niệm cơ bản – Tích phân những hàm phân thức hữu tỉ 2 .8

• Tích phân các hàm vô tỉ, lượng giác. Một số ví dụ đơn giản
  2 Tích phân xác địnhvề phép đổi biến Euler
• Định nghĩa, ý nghĩa hình học, cơ học

2, 2 .9 Chương 1 và chương 2 đến hết tích phân những hàm phân thức hữu tỉ KIỂM TRA GIỮA KỲ :10

• • Tiêu chuẩn khả tích. Các tính chất của tích phân xác địnhCông thức đạo hàm theo cận, công thức Newton- Leibniz
• Các phương pháp tính
  2 Tích phân suy rộng (TPSR):
• TPSR loại 1: Định nghĩa, ý nghĩa hình học, các khái niệm
  hội tụ, phân kỳ, giá trị của tích phân

2, 2 .11

• TPSR loại 1: TPSR của hàm số không âm, các định lý so
  sánh, hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ
• TPSR loại 2: Định nghĩa, ý nghĩa hình học, các khái niệm
  hội tụ, phân kỳ, giá trị của tích phân, TPSR của hàm số
  không âm, các định lý so sánh, hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ
  2 – Ứng dụng của tích phân xác địnhSơ đồ tổng tích phân, vi phân

2, 2 .12

• Tính diện tích miền phẳng, mặt tròn xoay; thể tích vật thể;
  độ dài cung phẳng
  2.

13Chương 3. Hàm số nhiều biến số ( 12 LT + 8 BT ) 3 Các khái niệm cơ bản : – Miền, khoảng cách, lân cận, biên, miền đóng, mở, bị chặn – Định nghĩa hàm nhiều biến, ý nghĩa hìnhtập giá trị học, tập xác lập, – Giới hạn của hàm nhiều biến ( số lượng giới hạn theo hàm điểm ), những phép toán – Hàm liên tục : Định nghĩa, những phép toán, đặc thù, liên tục đều

143 Đạo hàm riêng và vi phân – – Vi phân toàn phần : Định nghĩa, mối liên hệ giữa hàm số khả Đạo hàm riêng : Định nghĩa, cách tính vi và có đạo hàm riêng, ứng dụng tính gần đúng – Đạo hàm riêng và vi phân của những hàm hợp, tính không bao giờ thay đổi của vi phân cấp 1 – Hàm ẩn : Định nghĩa, định lý sống sót và cách tính đạo hàm riêng

15

• Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao: Định nghĩa, định lý
  Schwartz về điều kiện các đạo hàm riêng hỗn hợp bằng
  nhau, tính không bất biến của vi phân cấp cao
• Công thức khai triển Taylor
  3 – Cực trị của hàm số nhiều biến sốĐịnh nghĩa
• Quy tắc tìm cực trị

16 – – Cực trị có điều kiệnGiá trị lớn nhất và nhỏ nhất 3 .

12. Nội dung các bài thí nghiệm (thực hành, tiểu luận, bài tập lớn)

a ) y = lg ( 1 − 2 cosx ) b ) y = arcsin

(

lg 10 x

)

c ) y = arctan ( sinx ) d ) y = arctan ( ex ) .

4. Một quả bóng có đường kínhd m. Tìm hàm theod biểu diễn thể tích
   không khí cần bơm vào quả bóng để quả bóng có đường kínhd+ 1. Tìm
   tập xác định và tập giá trị của hàm.
5. Tìmf(x)biết

a ) f

(

x + 1 x

)

= x 2 + x 12 b ) f( x 1 + x

)

= x 2 .

6. Một máy bay, bay với vận tốc 600 km/h, ở độ cao 2 km, bay qua ngay
   phía trên trạm kiểm soát không lưu ở thời điểmt= 0.

a ) Biểu diễn hàm khoảng cách d ( tính theo m ) theo phương ngang của máy bay tới trạm trấn áp không lưu theo thời giant ( tính theo phút ). b ) Biểu diễn hàm khoảng chừng cáchsgiữa máy bay và trạm trấn áp không lưu theod. c ) Sử dụng hàm hợp, tìm trình diễn hàm củastheot .

7. Tìm hàm ngược của hàm số

a ) y = 2 arcsinx b ) y = 1 − x 1 + x c ) y =

1

2 ( ex − e − x ) .

8. Xét tính chẵn lẻ của hàm số

a ) f ( x ) = ax + a − x ( a > 0 ) b ) f ( x ) = ln ( x + √ 1 + x 2 )c ) f ( x ) = sinx + cosx d ) f ( x ) = arcsin ( tanx ) .

9. Chứng minh rằng bất kỳ hàm sốf(x)nào xác định trong một khoảng
   đối xứng (−a, a),(a > 0) cũng đều biểu diễn được duy nhất dưới dạng
   tổng của một hàm số chẵn với một hàm số lẻ.
10. Chof(x)vàg(x)là hai hàm xác định trên miền đối xứng. Chứng minh:

a ) Nếuf ( x ) vàg ( x ) là hàm chẵn thì tổng và tích của chúng là hàm chẵn. b ) Nếuf ( x ) vàg ( x ) là hàm lẻ thì tổng của chúng là hàm lẻ và tích của chúng là hàm chẵn. c ) Nếuf ( x ) là hàm lẻ vàg ( x ) là hàm chẵn thì tích của chúng là hàm lẻ .

11. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của hàm số sau (nếu có)

a ) f ( x ) = Acosλx + Bsinλx b ) f ( x ) = sinx + 12 sin 2 x + 13 sin 3 xc ) f ( x ) = cos 2 x d ) f ( x ) = sin ( x 2 )

12. Tìm giới hạn của những dãy số (nếu hội tụ) với số hạng tổng quátxn
    như sau

a ) xn = n − √ n 2 − n b ) xn = ncosnπ c ) xn = sin 2 n − ncos 3 n d ) xn = 1 + 1 + 1231 + + 4119 + + · · · · · · + + 2311 nne ) xn = 11. 2 + 21. 3 + · · · + ( n − 1 1 ). nf ) xn =√ ncosn n +g ) xn = √ n 12 + 1 + √ n 12 + 2 + · · · + √ n 12 + n

13. Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu có) của các dãy với số hạng tổng
    quátxn như sau

a ) xn = √ a + √ a + · · · + √ a ( n dấu căn ) b ) xn = 2 + 2 + 1 · · · 1 + 1 2( nphép chia )

1. Hàm số liên tục
2. Tìmađể hàm số liên tục tạix= 0

a ) f ( x ) =







1 − cosx x 2, nếux 6 = 0, a, nếux = 0 .b ) g ( x ) =







ax 2 + bx + 1, nếux ≥ 0, acosx + bsinx, nếux < 0 .

19. Hàmf(x)sau liên tục tại những giá trịxnào?

a ) f ( x ) =







0, nếu x hữu tỉ, 1, nếu x vô tỉ .b ) g ( x ) =







0, nếu x hữu tỉ, x, nếu x vô tỉ .

20. Điểmx= 0là điểm gián đoạn loại gì của hàm số

a ) y = 1 − 82 cotxb ) y = x 1 arcsinxc ) y = sin x 1 e 1 x + 1 d ) y = eax − ebx x, ( a 6 = b )

21. Các hàm số sau đây có liên tục đều trên miền đã cho không?

a ) y = 4 − xx 2 ; − 1 ≤ x ≤ 1 b ) y = lnx ; 0 < x < 1

1. Đạo hàm và vi phân
2. Tìm đạo hàm của hàm sốf ( x ), biếtf ( x ) =











1 − x, nếux < 1, ( 1 − x ) ( 2 − x ), nếu 1 ≤ x ≤ 2, x − 2, nếux > 2. 23. Tínhf ′ ( x ) biếtf ′ ( 2017 x ) = x 2 .

24. Với điều kiện nào thì hàm số

f ( x ) =







xnsinx 1, nếux 6 = 0, 0, nếux = 0( n ∈ Z )a ) Liên tục tại x = 0 b ) Khả vi tạix = 0c ) Có đạo hàm liên tục tạix = 0 .

25. Trong năm 2016, GDP (tổng thu nhập quốc dân) của Việt Nam theo
    đầu người là 6 USD, dân số (ước tính) 95.414, tốc độ tăng trưởng
    GDP 6,2%, tốc độ tăng dân số 1,1%. Xác định GDP và tốc độ tăng trưởng
    GDP của Việt Nam trong năm 2016.
26. Một thang cao 5m dựa vào một bức tường thẳng đứng, chân thang
    cách tường 3m. Nếu chân thang trượt ra xa khỏi tường với tốc độ 1m/s
    thì đỉnh thang trượt với tốc độ bao nhiêu?
27. Chứng minh rằng hàm sốf(x) = |x−a|φ(x), trong đó φ(x) là một
    hàm số liên tục vàφ(a) 6 = 0, không khả vi tại điểmx=a.
28. Tìm vi phân của hàm số

a ) y = a 1 arctanxa, ( a 6 = 0 ) b ) y = arcsinxa, ( a 6 = 0 )c ) y = 21 aln

∣∣

∣ ∣ xx − + aa

∣∣

∣∣,(a 6 = 0)

d ) y = ln ∣ ∣ x + √ x 2 + a ∣ ∣ .

29. Tìm

a ) d ( dx 2 )( sinx x

)

b ) dd ( cos ( sinxx ) ) c ) d ( dx 3 ) ( x 3 − 2 x 6 − x 9 ) .

30. Tính gần đúng giá trị của biểu thức

Tìm hàm ngân sách biên, xác lập ngân sách biên tạix = 100, giá trị đó nói lên điều gì ? 36. Tìm đạo hàm cấp cao của hàm sốa ) y = x2 1 − x, tínhy( 8 )b ) y = √ 1 + 1 − xx, tínhy ( 100 )c ) y = x2 1 − x, tínhy( 8 )d ) y = x 2 sinx, tínhy ( 50 ) .

37. Tính đạo hàm cấpn của hàm số

a ) y = x 2 x − 1 b ) y = x 2 − 31 x + 2c ) y = √ 3 1 + x xd ) y = eaxsin ( bx + c ) .e ) y = sin 4 x + cos 4 xf ) y = xn − 1 e 1 x

38. Tính vi phân cấp cao của các hàm số

a ) y = ( 2 x + 1 ) sinx. Tínhd 10 y ( 0 ). b ) y = excosx. Tínhd 20 y ( 0 )c ) y = x 9 lnx. Tínhd 10 y ( 1 ). d ) y = x 2 eax. Tínhd 20 y ( 0 )

39. Trong hệ sinh thái, mô hình thú săn mồi – con mồi thường được sử
    dụng để tìm hiểu sự tương tác giữa các loài. Xét số lượng của sói rừng
    và hươu theo thời gian W(t) vàC(t). Sự tương tác được mô tả theo các
    phương trình:

C ′ ( t ) = aC ( t ) − bC ( t ) W ( t ) W ′ ( t ) = − cW ( t ) + dC ( t ) W ( t ) ,vớia, b, c, dlà những hằng số .a ) Với những giá trị nào của C ( t ) vàW ( t ) thì hệ không thay đổi ( số lượng sói và hươu không đổi ). b ) Với điều kiện kèm theo nào thì một trong hai loài tuyệt chủng .c ) Với điều kiện kèm theo nào thì cả hai loài sẽ tuyệt chủng .

40. Trong một hồ nuôi cá, cá trong hồ liên tục được sinh ra và khai thác.
    Số lượng cá trong hồP được mô tả bởi phương trình:

P ′ ( t ) = r 0

(

1 − PP ( tc )

)

P. ( t ) − βP ( t )vớir 0 là tỉ lệ sinh sản, Pclà số lượng cá lớn nhất hồ hoàn toàn có thể duy trì, βlà tỉ lệ khai thác. ChoPc = 10000, tỉ lệ sinh sản và tỉ lệ khai thác tương ứng là 5 % và 4 %. Tìm số lượng cá không thay đổi .

1. Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng
2. Chứng minh rằng∀a, b, c∈R, phương trình

acosx + bcos 2 x + ccos 3 x = 0có nghiệm trong khoảng chừng ( 0, π ). 42. Chứng minh rằng phương trìnhxn + px + q = 0 vớin nguyên dương không hề có quá 2 nghiệm thực nếunchẵn, không có quá 3 nghiệm thực nếunlẻ. 43. Giải thích tại sao công thức Cauchy dạng fg ( ( bb ) ) − − fg ( ( aa ) ) = f′ ( c ) g ′ ( c ) không vận dụng được so với những hàm sốf ( x ) = x 2, g ( x ) = x 3, − 1 ≤ x ≤ 1. 44. Chứng minh bất đẳng thức

a) |sinx−siny|≤|x−y|
b) a−a b

45. Tồn tại hay không hàm f sao chof(0) =− 1, f(2) = 4 vàf′(x)≤ 2
    với mọix?
46. Một chiếc xe đi từ Hà Nội về Hải Phòng trên đường cao tốc. Lúc 2h,
    xe ở cách Hà Nội 30km, lúc 2h10, cách 50km. Chứng minh rằng có một

Tính mức lãi suất vay hàng tháng phải trả bằng giải pháp Newton ? 54. Khảo sát tính đơn điệu của hàm sốa ) y = x 4 + x 2 − x + 1 b ) y = arctanx − x c ) y = x + | sin 2 x |

55. Chứng minh bất đẳng thức

a ) 2 xarctanx ≥ ln ( 1 + x 2 ) với mọix ∈ R b ) x − x2 2 ≤ ln ( 1 + x ) ≤ xvới mọix ≥ 0. 56. Tìm cực trị của hàm sốa ) y = 3 x2 + 4 x + 4 x 2 + x + 1 b ) y = x − ln ( 1 + x )c ) y = √ 3 ( 1 − x ) ( x − 2 ) 2d ) y = x 23 + ( x − 2 ) 23 .

57. Một thùng chứa 5000 lít nước, dưới đáy có lỗ xả. Theo định luật
    Torricelli, thể tích nước V còn lại trong bình sau t phút có công thức:
    V = 5000( 1 − 401 t) 2.

a ) Xác định vận tốc nước chảy ra ở thời điểmt = 20 phút. b ) Xác định thời gian vận tốc nước chảy ra là nhanh nhất, chậm nhất .

58. Tần số dao động của sợi dây đàn ghi ta cho bởi công thứcf = 21 L

√T

ρ, vớiLlà chiều dài, T là sức căng vàρlà khối lượng riêng ( theo chiều dài ) của dây .a ) Xác định sự vận tốc đổi khác về tần số của dây theo chiều dài, sức căng, và khối lượng riêng tương ứng khi những tham số còn lại xem là hằngsố. Cao độ của nốt nhạc nhờ vào vào tần số xê dịch của dây ( tần số càng cao thì nốt nhạc càng cao ). Cao độ của nốt nhạc thay thế nào nếu :b ) Giảm chiều dài của dây bằng cách bấm lên phím đàn. c ) Tăng sức căng của dây bằng cách căng thêm dây. d ) Đổi qua dây khác có khối lượng riêng cao hơn .

59. Trong khoảng từ 0 ◦ đến 30 ◦, thể tích (theo m 3 ) của một 1kg nước ở
    nhiệt độT theo công thức

V = 999, 87 − 0, 06426 T + 0, 0085043 T 2 − 0, 0000679 T 3Xác định nhiệt độ, tại đó khối lượng riêng của nước là lớn nhất. 60. Một nhà kinh doanh bán lẻ bán 1200 TV một tuần ở mức giá 35 triệu. Một điều tra và nghiên cứu thị trường chỉ ra, cứ giảm giá 1 triệu thì lượng bán sẽ tăng lên 80 chiếc một tuần. Giá thành sản xuất trong tuần làxchiếc TV là : C ( x ) = 350 + 12 x ( triệu ) .a ) Tìm hàm đơn giá và hàm lệch giá ( theo lượng bán ). b ) Cửa hàng nên bán ở mức giá bao nhiêu để cực đại doanh thu ? c ) Tìm giá bán để cực lớn doanh thu .

61. Một hòn đá được ném thẳng lên từ bề mặt Sao Hỏa. Độ cao (m) so với
    bề mặt của hòn đá tại thời điểmtđược cho bởi công thứcH= 15t− 1, 86 t 2.

a ) Tìm tốc độ của hòn đá tại thời điểmt = 10. b ) Xác định tần suất trọng trường trên mặt phẳng của Sao Hỏa. c ) Tìm tốc độ của hòn đá khi nó ở độ cao 25 m trên đường đi lên và trên đường đi xuống. d ) Tìm độ cao lớn nhất của hòn đá. e ) Khi nào thì hòn đá chạm mặt phẳng ?

66. Theo thuyết tương đối, khối lượng và năng lượng của một hạt được xác
    định theo công thức tương ứng:

m = √ m 0 1 − vc 22

E=

√

m 20 c 4 + h2 c 2 λ 2 ,vớim 0 là khối lượng nghỉ, λlà bước sóng de Broiglie tương ứng với hoạt động của hạt, hlà hằng số Planck, vlà tốc độ tương đối của hạt so với người quan sát, clà tốc độ ánh sáng .a ) Khảo sát và vẽ đồ thị hàmmphụ thuộc vàov, nêu nhận xét. b ) Khảo sát và vẽ đồ thị hàmE phụ thuộc vào vàoλ, nêu nhận xét .Chương 2 Phép tính tích phân hàm một biến số2 Tích phân bất định

1. Tính các tích phân

a ) ∫

(

1 − x 12

)√

x √ xdx b ) ∫ | x 2 − 3 x + 2 | dx c ) ∫ x √ xdx 2 + 1d ) ∫ ( x 2 xdx − 1 ) 3 /e ) ∫ ( x + 2 ) ( xdxx + 5 )f ) ∫ ( x + a ) dx 2 ( x + b ) 2 g ) ∫ sinxsin ( x + y ) dx h ) ∫ 1 + sinsin 2 xxdx .

2. Tính các tích phân

a ) ∫ arctanxdx b ) ∫ √ x 2 x − + 2 5 x + 6 dxc ) ∫ √ x 2 xdx + x + 2 d ) ∫ x √ − x 2 + 3 x − 2 dxe ) ∫ ( x 2 + 2 dxx + 5 ) 2 f ) ∫ sinn − 1 xsin ( n + 1 ) xdx g ) ∫ e − 2 xcos 3 xdx h ) ∫ arcsin 2 xdx .

3. Lập công thức truy hồi tínhIn

a ) In = ∫ xnexdx b ) In = ∫ sinnxdx c ) In = ∫ dx cosnx .

2. Tích phân xác định
3. Tính các đạo hàm

a ) dxd ∫ y xet 2 dt b ) d dy

∫y
x e

t 2 dt c ) d dx∫ x 3 x 2√ dt 1 + t 4 .

Source: https://sangtaotrongtamtay.vn
Category: Giáo dục