Các dạng bài tập Đạo hàm chọn lọc, có lời giải

Các dạng bài tập Đạo hàm có đáp án

Phần Đạo hàm Toán lớp 11 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 200 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có lời giải. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Đạo hàm hay nhất tương ứng.

Cách tính Đạo hàm

Viết phương trình Tiếp tuyến

Vi phân, đạo hàm cấp cao & ý nghĩa của đạo hàm

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa

A. Phương pháp giải

+ Định nghĩa đạo hàm của hàm số : Cho hàm số y = f ( x ) xác lập trên khoảng chừng ( a ; b ) và x0 ∈ ( a ; b ). Nếu sống sót số lượng giới hạn hữu hạn :

Thì số lượng giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại điểm x0 và kí hiệu :

+ Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa :
Bước 1 : giả sử ∆ x là số gia của đối số x0. Tính ∆ y = f ( x0 + ∆ x ) – f ( x0 ) .
Bước 2 : Lập tỉ số ∆ y / ∆ x
Bước 3 .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số y= f(x) tại x0 < 1 ?

Hướng dẫn giải

Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án C đúng .
Chọn C.

Ví dụ 2. Cho hàm số y= f(x) liên tục tại x0. Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại x0 là

Hướng dẫn giải

Chọn C .

Ví dụ 3. Số gia của hàm số y= f(x )= x3 + 1 ứng với x0= 1 và ∆ x= 1 bằng bao nhiêu?

A. – 10 B. 7 C. – 1. D. 0

Hướng dẫn giải

Ta có ∆ y = f ( x0 + ∆ x ) – f ( x0 ) = ( x0 + ∆ x ) 3 + 1 – x03-1
= 3. x02. ∆ x + 3×0 ( ∆ x ) 2 + ( ∆ x ) 3
Với x0 = 1 và ∆ x = 1 thì ∆ y = 7 .
Chọn B

Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm

A. Phương pháp giải & Ví dụ

– Đường cong ( C ) : y = f ( x ) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ xo khi và chỉ khi hàm số y = f ( x ) khả vi tại xo. Trong trường hợp ( C ) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ xothì tiếp tuyến đó có thông số góc f ’ ( xo )
– Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) : y = f ( x ) tại điểm M ( xo ; f ( xo ) ) có dạng :
y = f ’ ( xo ) ( x-xo ) + f ( xo )

Bài toán 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(xo; f(xo))

Giải : Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại M ( xo ; f ( xo ) ) là :
y = f ’ ( xo ) ( x-xo ) + f ( xo ) ( 1 )

Bài toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết hoành độ tiếp điểm x = xo

Giải :
Tính yo = f ( xo ) và f ’ ( xo ). Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến :
y = f ’ ( xo ) ( x-xo ) + yo

Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết tung độ tiếp điểm bằng yo

Giải. Gọi M ( xo, yo ) là tiếp điểm
Giải phương trình f ( x ) = yo ta tìm được những nghiệm xo .
Tính y ’ ( xo ) và thay vào phương trình ( 1 )

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hàm số y = x3+3×2+1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :

1. Tại điểm M ( – 1 ; 3 )
2. Tại điểm có hoành độ bằng 2

Hướng dẫn:

Hàm số đã cho xác lập D = R
Ta có : y ’ = 3×2 + 6 x
1. Ta có : y ’ ( – 1 ) = – 3, khi đó phương trình tiếp tuyến tại M là :
y = – 3. ( x + 1 ) + 3 = – 3 x
2. Thay x = 2 vào đồ thị của ( C ) ta được y = 21
Tương tự câu 1, phương trình là :
y = y ’ ( 2 ). ( x – 2 ) + 21 = 24 x – 27

Bài 2: Gọi (C) là đồ thị của hàm số . Gọi M là một điểm thuộc (C) có khoảng cách đến trục hoành độ bằng 5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M

Hướng dẫn:

Khoảng cách từ M đến trục Ox bằng 5 ⇔ yM = ± 5 .

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(-7/3,-5) là y = 9x + 16

Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( – 4, 5 ) là y = 4 x + 21

Bài 3: Cho hàm số y = x3 + 3×2 – 6x + 1 (C)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) biết hoành độ tiếp điểm bằng 1

Hướng dẫn:

Gọi M ( xo ; yo ) là tọa độ tiếp điểm .
Ta có xo = 1 ⇒ yo = – 1
y = x3 + 3×2 – 6 x + 1 nên y ’ = 3×2 + 6 x – 6 .
Từ đó suy ra y ’ ( 1 ) = 3 .
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3 ( x – 1 ) – 1 = 3 x – 4

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc

*Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại điểm x0 là thông số góc của tiếp tuyến với đồ thị ( C ) của hàm số tại điểm M0 ( x0 ; f ( x0 ) ) .
Khi đó phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M0 là :
y – y0 = f ‘ ( x0 ). ( x – x0 )

A. Phương pháp giải

1. – Gọi ∆ là tiếp tuyến cần tìm có thông số góc k .
– Giả sử M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Khi đó x0 thỏa mãn nhu cầu : f ’ ( x0 ) = k ( * ) .
– Giải ( * ) tìm x0. Suy ra y0 = f ( x0 ). Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y = k ( x – x0 ) + y0
2. Cho đường thẳng d : y = kdx + b
+ ) Nếu ∆ / / d thì k ∆ = kd
+ ) Nếu ∆ vuông góc với d thì : k ∆. kd = – 1 ⇔ k ∆ = ( – 1 ) / kd

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) :y=-x4-x2+6, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:y=1/6x-1 .

A.y = 6 x + 1 B. y = – 6 x + 6 C.y = – 6 x + 10 D. y = 6 x + 12

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác lập D = R .
Đạo hàm của hàm số : y ’ = – 4×3 – 2 x
Gọi ∆ là tiếp tuyến của đồ thị ( C ) của hàm số và ∆ vuông góc với đường thẳng d : y = 1/6 x – 1 .
⇒ đường thẳng ∆ có thông số góc : k = – 6 .
Cách 1 : Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến ∆ và đồ thị ( C ) của hàm số .
Khi đó, ta có phương trình : y ‘ ( x0 ) = – 6 ⇔ – 4×03 – 2×0 = – 6
⇔ ( x0-1 ) ( 2×02 + 2×0 + 3 ) = 0 ( * ) .
Vì 2×02 + 2×0 + 3 > 0, ∀ x0 ∈ R nên phương trình ( * ) tương đường x0 = 1
⇒ y0 = y ( 1 ) = 4 nên M ( 1 ; 4 )
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y = – 6 ( x-1 ) + 4 = – 6 x + 10 .
Cách 2 : Phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng y = – 6 x + m ( * * )
Do ∆ tiếp xúc ( C ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) khi hệ phương trình sau có nghiệm x0 :

Thay vào ( * * ) ta có phương trình tiếp tuyến là : y = – 6 x + 10
Chọn C.

Ví dụ 2. Cho hàm số y=1/3 x3-x+2/3 có đồ thị là (C). Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng d: y=-1/3 x+2/3.

A. ( 1 ; – 2 ) và ( – 2 ; 0 ) B. ( – 2 ; 0 ) và ( 2 ; 4/3 )
C. ( – 2 ; 5 ) và ( 1 ; 0 ) D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác lập D = R .
Ta có đạo hàm : y ‘ = x2-1
GọiM ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) ⇔ y0 = 1/3 x03-x0+2 / 3 ,
Tiếp tuyến ∆ tại điểm M có thông số góc : y ‘ ( x0 ) = x02-1
Đường thẳng d : có thông số góc k2 = – 1/3

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại thông minh, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không tính tiền. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi không tính tiền trên mạng xã hội facebook và youtube :

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Source: https://sangtaotrongtamtay.vn
Category: Giáo dục