Phương pháp ghép trục trong bài toán hàm hợp chuyên đề khảo sát hàm số ôn thi THPTQG…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. KÊNH PPT TIVI PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP Tổng hợp: Thủy Đinh Ngọc I NGUYÊN TẮC GHÉP TRỤC XÉT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM HỢP g f u x Bước 1: Tìm tập xác định hàm g f u x , giả sử ta tập xác định D a1 ; a a3 ; a a n 1 ; a n Ở a1 ; a n Bước 2: Xét biến thiên u u x hàm y f ( x ) (B2 làm gộp bước đơn giản) Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét tương quan x ; u u x u; g f (u ) Bảng thường có dịng dạng Cụ thể thành phần BBT sau Dòng 1: Xác định điểm kỳ dị hàm u u x , xếp điểm theo thứ tăng dần từ trái qua phải, giả sử sau: a1 a a n 1 a n (xem ý 1) Dòng 2: Điền giá trị ui u với i 1,, n Trên khoảng ui ; ui 1 , i 1, n cần bổ xung điểm kỳ dị b1 ; b2 ; ; bk của hàm y f ( x ) Trên khoảng ui ; ui 1 , i 1, n cần xếp điểm ui ; bk theo thứ tự chẳng hạn: ui b1 b2 bk ui 1 ui b1 b2 bk ui 1 (xem ý 2) Dòng 3: Xét chiều biến thiên hàm g f u x dựa vào BBT hàm y f ( x ) cách hốn đổi: u đóng vai trị x ; f u đóng vai trị f x Sau hoàn thiện BBT hàm hợp g f u x ta thấy hình dạng đồ thị hàm Bước 4: Dùng BBT hàm hợp g f u x giải yêu cầu đặt toán kết luận Chú ý 1: Các điểm kỳ dị u u ( x ) gồm: Điểm biên tập xác định D, điểm cực trị u u x – Nếu xét hàm u u x dịng điểm kỳ dị cịn có nghiệm pt u x (là hoành độ giao điểm u u ( x ) với trục Ox ) – Nếu xét hàm u u x dịng điểm kỳ dị cịn có số (là hoành độ giao điểm u u ( x ) với trục Oy ) Chú ý 2: Có thể dùng thêm mũi tên để thể chiều biến thiên u u x Điểm kỳ dị y f ( x ) gồm: Các điểm f ( x ) f ( x ) không xác định; điểm cực trị hàm số y f ( x) – Nếu xét hàm g f u x dịng điểm kỳ dị cịn có nghiệm pt f x (là hoành độ giao điểm u u ( x ) với trục Ox ) – Nếu xét hàm g f u x y f ( x ) với trục Oy ) dịng điểm kỳ dị cịn có số (là hoành độ giao điểm II ĐỀ MINH HỌA CỦA BỘ GIÁO DỤC Câu 45-MH-BGD-L1: Cho hàm số f x có bảng biến thiên sau: Số nghiệm thuộc đoạn ; 2 phương trình f sin x A B C Lời giải D Chọn B Cách 1: Tự luận truyền thống Đặt t sin x Do x ;2 nên t 1;1 Khi ta có phương trình f t f t Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f t t b 0;1 có nghiệm t a 1;0 Trường hợp 1: t a 1;0 Ứng với giá trị t 1;0 phương trình có nghiệm x1 x2 x3 x4 2 Trường hợp 2: t b 0;1 Ứng với giá trị t 0;1 phương trình có nghiệm x5 x6 Hiển nhiên nghiệm trường hợp khác Vậy phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn ; 2 Cách 2: Phương pháp ghép trục x t sin x 1;1 x ; Đặt ; t’ cosx x ; x 3 Ta có f sinx f sinx Do tổng số nghiệm phương trình cho Câu 46-MH-BGD-L1: Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị hình bên Số điểm cực trị hàm số g x f x x A B C D 11 Lời giải Chọn C Cách 1: Tự luận truyền thống Từ đồ thị ta có bảng biến thiên hàm số y f x sau Ta có g x f x x g x x x f x x x x 2 3 x x Cho g x x x a; a f x x x x b; b x x c; c x Xét hàm số h x x3 3x h x 3x x Cho h x x 2 Bảng biến thiên Ta có đồ thị hàm h x x3 3x sau Từ đồ thị ta thấy: Đường thẳng y a cắt đồ thị hàm số y h x điểm Đường thẳng y b cắt đồ thị hàm số y h x điểm Đường thẳng y c cắt đồ thị hàm số y h x điểm Như phương trình g x có tất nghiệm đơn phân biệt Vậy hàm số g x f x x có cực trị Cách 2: Phương pháp ghép trục x 2 Xét hàm số u x x ta có u ‘ x x x Gọi a, b, c điểm cục trị hàm số y f x a b c Và ta có f a f c ; f b Suy g x f x x có điểm cực trị Câu 46-MH-BGD-L2: Cho hàm số f x có bảng biến thiên sau 5 Số nghiệm thuộc đoạn 0; phương trình f sin x A B C Lời giải D Chọn C Cách 1: Tự luận truyền thống 5 Đặt t sin x, x 0; t 1;1 Khi phương trình f sin x trở thành f t 1, t 1;1 Đây phương trình hồnh độ giao điểm hàm số y f t đường thẳng y t a 1; Dựa vào bảng biến thiên, ta có f t t b 0;1 Trường hợp 1: t a 1;0 Ứng với giá trị t 1;0 phương trình sin x t có nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 x2 2 Trường hợp 2: t b 0;1 Ứng với giá trị t 0;1 phương trình có nghiệm x1, x2, x3 thỏa mãn 5 ; Hiển nhiên nghiệm trường hợp khác 5 Vậy phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn 0; Cách 2: Phương pháp ghép trục 5 Đặt t sin x, x 0; t 1;1 x3 x4 ; 2 x5 Khi phương trình f sin x trở thành f t 1, t 1;1 Do tổng số nghiệm phương trình cho III PHÁT TRIỂN CÂU 45 – 46 Câu 1: Cho hàm số y f x có đồ thị cho hình vẽ bên Hỏi phương trình f x3 3x 1 có tất nghiệm thực phân biệt? A B C Lời giải D 11 Chọn B Cách 1: Tự luận truyền thống – Dựa vào đồ thị hàm số f x , ta có: f f x x 1 f x x b b 1 x3 3x 1 x3 3x c 1 c 3 3 x3 3x 1 x3 3x d d 3 x x a a d 1 Dựa vào đồ thị hàm số y x3 3x (hình vẽ đây) Ta suy ra: Phương trình (1), (2), (4) phương trình có nghiệm, phương trình (3) có nghiệm nghiệm phân biệt Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt u x x Ta có u x x ; u x x 1 BBT hàm số u x : x u’ u + 1 + + + f u 3 Phương trình f x 3x trở thành: f u f u Từ đồ thị hàm số y f x từ bảng biến thiên hàm số u x x x ta có bảng sau biến thiên hàm hợp f x x 1 f (u ) sau: Từ bảng ta thấy phương trình f u có nghiệm phương trình f u có nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm Câu 2: Cho hàm số f x liên tục có bảng biến thiên hình bên Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f cos x m f cos x m 10 có nghiệm phân biệt thuộc đoạn ; A B C Lời giải Chọn B Cách 1: Tự luận truyền thống Ta có f cos x m f cos x m 10 D t Đặt t f cos x ta phương trình t m t 2m 10 t m x cos x +) Với t f cos x 2 x ; cos x x +) Với t m f cos x m (1) Để phương trình ban đầu có nghiệm phân biệt thuộc đoạn ; phương trình (1) có nghiệm đoạn ; khác ;0; 3 Với x ; u cos x 1;1 Nhận xét: 1 Nếu u ;1 có nghiệm x ; 2 1 Nếu u u 1; có nghiệm x ; 2 Do yêu cầu toán xảy phương trình (1) thỏa 1 f cos x m f u m có nghiệm u 1; 2 Từ bảng biến thiên suy m m Vì m nên m 1; 2;3; 4;5; 6 Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt t cos x 1;1 x ; x t ‘ sin x x Khi phương trình f cos x m f cos x m 10 thành f t 2 f t m f t 2m 10 f t m Do phương trình f t có nghiệm nên u cầu tốn tương đương với phương trình f t m có nghiệm 4 m m Vì m nên m 1; 2;3; 4;5; 6 Câu 3: [CHUYÊN VINH LẦN 1-2020].Cho hàm số y f x liên tục có bảng biến thiên hình bên Xác định số nghiệm phương trình f x 3x 23 ,biết f 4 A B C 10 Lời giải D 11 Chọn C Phương pháp ghép trục Theo ta có bảng biến thiên tổng hợp: Đồ thị hàm số y f x 3x Câu 4: phần nét liền Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị hình vẽ Có giá trị ngun tham số m để phương trình f x 3x m có nghiệm phân biệt A Chọn A Phương pháp ghép trục B Lời giải C D Dựa vào bảng biến thiên, phương trình f x 3x m có nghiệm phân biệt Câu 5: m 3 m m m 4, 5, 6, 7, Cho hàm số y f x x x Số điểm cực trị hàm số g ( x) f f x 1 A B C Lời giải D 11 Chọn B Phương pháp ghép trục y f x x2 2x BBT Đặt u f x Ta có u x f x ; u x f x x u BBT hàm số u x : Từ hai BBT ta có BBT hàm số g ( x) f f x 1 f u Câu 6: Vậy hàm số ban đầu có điểm cực trị [CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG-2020] Cho f ( x) hàm đa thức bậc cho đồ thị hàm số y f ( x ) hình vẽ Từ BBT hàm số h x x3 3x nên ta có h x x1 có nghiệm, h x x2 có nghiệm, h x x3 có ba nghiệm phân biệt nghiệm khác 1 Vì phương trình g x có bảy nghiệm phân biệt nghiệm đơn nên hàm số y g x có cực trị Cách 2: Phương pháp ghép trục Gọi a, b, c điểm cực trị hàm số y f x , 2 a b c 0,75 x Đặt t x3 3x ; t ‘ x x x 1 Khi phương trình g x f x3 3x f (t ) Ta có BBT Do phương trình g x có bảy nghiệm phân biệt nghiệm đơn nên hàm số y g x có cực trị Câu 25: Cho hàm số f x có bảng biến thiên sau: 3 Số nghiệm thuộc đoạn ; 2 phương trình f cos x A B C D Lời giải Chọn B Cách 1: Tự luận truyền thống cos x a ; 1 cos x b 1;0 Cách 1: Ta có f cos x f cos x cos x c 0;1 cos x d 1; Vì cos x 1;1 nên cos x a ; 1 cos x d 1; vô nghiệm 3 Xét đồ thị hàm số y cos x ; 2 Phương trình cos x b 1;0 có nghiệm phân biệt Phương trình cos x c 0;1 có nghiệm phân biệt, không trùng với nghiệm phương trình cos x b 1;0 3 Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc đoạn ; 2 Cách 2: PP ghép trục Ta có f cos x f cos x * 3 Đặt t cos x, t 1;1 ; t sin x; t x k ; x ; 2 x ; 0; ; 2 * trở thành f t 3 Số nghiệm phương trình * đoạn ; 2 số giao điểm đồ thị hàm số y f t , t 1;1 đường thẳng y Ta có bảng biến thiên sau: cắt đồ thị hàm số y f t điểm 3 hay phương trình * có nghiệm phân biệt đoạn ; 2 Từ bảng biến thiên ta kết đường thẳng y Câu 26: Cho hàm số bậc bốn y f x Hàm số y f x có đồ thị sau Số điểm cực đại hàm số y f x x B A C Lời giải D Chọn D Cách 1: Tự luận truyền thống Từ đồ thị y f x ta chọn f x x 1 x 1 x 3 Áp dụng công thức y f u u f u với u Ta có y f x 1 x 1 x2 2x x2 x x2 x x2 2x 1 x 2x Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có điểm cực đại Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt u x x u ‘( x) ( x x 2)’ x 1 x 2x 2 x2 2x 1 x 1 Ta có BBT hàm số u u ( x ), y f x , y f u : x2 x x 1 y x 1 2 x2 2x x 1 2 x x x 1 x x x2 x Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y f x x có điểm cực đại Câu 27: Cho hàm số y f x có đạo hàm có đồ thị đường cong hình vẽ y 1 O x Đặt g x f f x Số điểm cực trị hàm số g x A B C 10 Lời giải D Chọn B Cách PP tự luận truyền thống g x f f x f x f f f x f g x f f x f x f x x x a, x0 xa a 3 f x có nghiệm đơn phân biệt x1, x2, x3 khác a Vì a nên f x a có nghiệm đơn phân biệt x4, x5, x6 khác x1, x2, x3, , a Suy g x có nghiệm đơn phân biệt Do hàm số g x f f x có điểm cực trị Cách Phương pháp ghép trục Đặt u f x , ta có bảng biến thiên hàm f u : Số điểm cực trị hàm số g x f f x với số điểm cực trị hàm số f f x tức hàm số f u Từ bảng biến thiên f u , ta g x có cực trị Câu 28: [TÂN TÂY ĐÔ L8] Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên m 10;10 để phương trình f nghiệm? A B C Lời giải x x 10 m có D Chọn C Cách 1: Tự luận truyền thống Đặt t x x 10 t Để phương trình f x 1 9 t x x 10 m f x x 10 m có nghiệm đường thẳng y m cắt đồ thị y f x điểm có hồnh độ x Từ đồ thị ta m m 1 Mà m 10;10 có giá trị m thỏa mãn Chọn C Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt u x x 10 u x 1 9 u x 1 Khi u ‘( x) x x 10 BBT hàm số u x : Phương trình f u ‘ x 1 x x 10 m f x x 10 m f u m Từ đồ thị hàm số y f x từ bảng biến thiên hàm số u x x 10 ta có bảng sau biến thiên hàm hợp f x x 10 f (u ) sau: Từ BBT: phương trình f u m với u có nghiệm m m 1 Mà m 10;10 có giá trị m thỏa mãn Câu 29: Cho hàm số bậc bốn y f x Đồ thị hàm số y f x hình vẽ bên Số điểm cực đại hàm số g x f A B Chọn A Cách 1: PP tự luận truyền thống x x C Lời giải D Ta có g x x 1 x 2x 2 f x2 2x x 1 x 1 x 1 x x theo thi f ‘ x x 1 Suy g x 2 f x 2x x 2x x 1 x 2x Bảng xét dấu Từ suy hàm số g x f x x có điểm cực đại Chọn A Chú ý: Cách xét dấu hay g ‘ x nhanh ta lấy giá trị x0 thuộc khoảng xét thay vào g x f dựa vào đồ thị ta thấy f Cách 2: Phương pháp ghép trục: x 1 Đặt t x x t x 1 t x 2x Ta có bảng biến thiên: x0 g 0 1; 1 Chẳng hạn với khoảng ta chọn Giải thích: Dựa vào đồ thị khoảng 1; , f t có điểm cực tiểu t đạo hàm đổi dấu từ (-) sang(+) Tại điểm t điểm cực đại dựa vào đồ thị hàm số f t đổi dấu từ (+) sang (-) Do hàm số cho có cực đại Chọn A Câu 30: [SỞ BN L1] Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ Có 3sin x cos x f 2cos x sin x giá trị nguyên tham f m 4m 1 có nghiệm? số m để phương trình A B C Lời giải D Vô số Chọn A Cách 1: PP tự luận truyền thống 3sin x cos x 2t 1cos x t 3sin x 1 4t * Đặt t cos x sin x Phương trình * có nghiệm 2t 1 t 4t 1 2 t 1 11 Suy t Từ đồ thị y f x ta có * y f x đồng biến 0; * m 4m m 0; * t 0; 3sin x cos x f m 4m Nên f cos x sin x f t f m m t m 4m Phương trình 1 có nghiệm m 4m m 4m 3 m 1 Do m Z m 3; 2; 1 Chọn A Cách2: pp ghép trục: 3sin x cos x 2t 1cos x t 3sin x 1 4t * Đặt t cos x sin x Phương trình * có nghiệm 2t 1 t 4t 1 11t 2t 2 t 1 11 Suy t t t f t 11 1 f 1 f 0 y f m 4m Dựa vào đồ thị 0;1 hàm số f t lng đồng biến u cầu tốn đường thẳng y f m m có điểm chung với đồ thị y f t f f m2 4m 4 f 1 m2 4m 3 m 1 Do m Z m 3; 2; 1 Chọn A Câu 31: Cho hàm số y f x có đồ thị hình bên x2 m có Có giá trị nguyên tham số m cho phương trình f x x 1 nghiệm? A B C Lời giải Chọn C Cách 1: PP tự luận 6×2 12 x5 12 x Đặt u Ta có u ‘ x x 1 x4 x2 1 x Cho u ‘ x 1 D Bài tốn trở thành tìm m ngun để phương trình f u m có nghiệm u 2;4 Dựa đồ thị suy f u m có nghiệm m m Cách 2: Phương pháp ghép trục Bước 1: Ghi nhớ f x có cực trị hồnh độ x ; x Bước 2: Đặt u 12 x5 12 x 6×2 u ‘ 2 x4 x2 x4 x2 x Cho u ‘ x 1 Suy f u m có nghiệm m m Câu 32: Cho hàm số y f x liên tục có bảng biến thiên hình vẽ x –∞ y’ y -1/4 – +∞ + 1/4 – -1 +∞ + +∞ Hỏi phương trình f x x có nghiệm A B C D Lời giải Chọn C Phương pháp ghép trục Ta có f x x f x x Xét hàm số g x f x x Đây hàm số chẵn nên phương trình g x có nghiệm x0 có nghiệm x0 nên ta cần xét với trường hợp x Với x ta h x f x x Đặt u x x, u ‘ x x Ta có bảng biến thiên tổng hợp: x − u h(x) +∞ +∞ +∞ -1 Từ suy phương trình h x Suy phương trình g x có nghiệm phân biệt dương có nghiệm phân biệt Câu 33: Cho hàm số y f x xác định liên tục có đồ thi hình vẽ Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f 3cos x 3m 10 có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn ; 2 A B C D Lời giải Chọn C Cách 1: Phương pháp tự luận: f cos x m 10, x ; * 2 Đặt t 1 3cos x 1 t 3sin x ; t x 3cos x Nhận xét: t +) Với , suy phương trình 1 khơng có nghiệm thuộc t ; ; 2 +) Với t 1, suy phương trình 1 có nghiệm thuộc ; 2 +) Với t , suy phương trình 1 có hai nghiệm thuộc m 10 Lúc đó, phương trình * trở thành f t 3m 10 4 m 6 Để phương trình * có nghiệm m 10 m 10 2 0 Vì m nên m6; 1;0;1;2;3 Vậy có giá trị nguyên thỏa điều kiện toán Cách 2: Phương pháp ghép trục có f 3cos x 3m 10 f 3cos x 3m 10 Đặt u 3cos x, với x ; 2 u 2 3sin x 3sin x 3cos x 3cos x u x (do x ; ) 2 Lập bảng biến thiên hàm số f u Từ bảng biến thiên suy ra: Để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt thì: 3m 10 4 m 6 m 10 m 10 2 0 Với m số nguyên ta m 1;0;1; 2;3; 6 Vậy có tất giá trị m 1 Câu 34: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau: 5 Số nghiệm thuộc đoạn ; phương trình f cos x cos x 2 A 12 B 11 C D 10 Lời giải Chọn D Phương pháp ghép trục 5 Đặt u cos x cos x, x ; 2 u sin x cos x sin x x 0; ; 2 sin x u x ; 5 ; 7 cos x 3 Khi đó, phương trình f cos x cos x f u có 10 nghiệm phân biệt
– Xem thêm –
Xem thêm: phương pháp ghép trục trong bài toán hàm hợp, phương pháp ghép trục trong bài toán hàm hợp
Source: https://sangtaotrongtamtay.vn
Category: Khoa học